爱因斯坦124乳光天蓝4-6论文10.10
第四节题为《光在一种不均匀性无限微小的、无吸收的媒质中的偏转的计算》，这一节依据麦克斯韦方程结合第三节最终导出的方程7，计算了光的强度与媒质密度的关系，按论文中的话说是研究媒质对通过它的光线的影响：
“现在既已由玻尔兹曼原理得到了均匀物质的密度或混合物的混合比将随位置而变的统计定律（注：方程7），我们将进而研究媒质对通过它而传播着的一条光线的影响。”
首先，描述媒质每一点的麦克斯韦方程8：
e/c·?E/?t=curl H，
1/c·?H/?t=-curl E，
div H=0，
div（eE）=0。
其中，e是媒质表观介电常数； E是电场强度； H是磁场强度；c是真空光速；curl是散度算符，对空间求导，意为通量的体密度；div是旋度算符，环线积分，意为环量的面密度。
方程8消去 H即为方程8a：
e/c2·?2E/?t2=Δ·E-gard div E，
div（eE）=0。
其中，Δ是媒质密度起伏；gard是梯度算符，梯度的大小代表变化的快慢。
媒质表观介电常数e和媒质平均表观介电常数e0（论文正文称其为常值介电系数，公式中没标注名称）关系为方程8a1：
e=e0+（?e/?ρ）0·Δ=e0+ι
实际的场（总场） E和激发光波的场 E0的关系为方程8a2：
E=E0+e
其中， e即为乳光场，意即媒质密度起伏引起的光波电场强度的起伏。
将方程8a1和方程8a2代入方程8a即得方程8b：
方程8b1：
e0/c2·（?2e/?t2）-Δe=-1/c2·ι（?2E0/?t2）-gard div e
方程8b2：
div（ιE0）+div（e0·e）=0
方程8b2展开，并考虑到 div E0=0和gard e0=0，即得方程8b2a：
div e=-1/e0·E0·gardι
将方程8b2a代入方程8b1即得方程8c：
e0/c2·（?2e/?t2）-Δe=-1/c2·ι（?2E0/?t2）+1/e0·gard{E0·gardι}=a
方程8c右端为已知矢量 a，由方程8c可知乳光场 e与矢量 a的关系，其形式与矢势、电流之间的关系相同，其解为方程8c1：
e=1/4π·∫[{a}（t0-r/V）/r]·dτ
其中，r是dτ到测试点的距离； V=c/√e0是光波在媒质中的传播速度；体积分遍及激发光场 E0异于0的全部空间。
如果方程8c1的积分只包括体积的一部分，则得到的就是激发光波通过这一部分体积时所引起的那一部分乳光场，第四节剩下的部分就是求解这种部分乳光场，部分乳光场研究的流体包含在其棱长 l小于第三节不等式5中的棱长L，其立方体由不等式5b确定：
0
0
0
平面激发光波电场 E0由方程9决定：
E0=H·cos2πn（t-ΠΥ/V）
其中，Π为单位波线矢量(分量为α，β，γ）；Υ为从坐标原点画起的矢径(分量为 x，y，z）。
设入射点在X轴的D处，D与棱长 l相比为无限大，则对此入射点来说，方程8c1变为方程方程8c1b：
e=1/4πD·∫[{a}（t1+x/V）]·dτ
其中，t1为t0-D/V；方程8c1中的r和方程8c1b中的D相差无限小，因此进行了替换。
将方程8c中的矢量 a代入方程8c1b可得方程8c1c（论文中对这步转换进行了复杂的数学和物理论证）：
ex=0，
ey=-1/4πDc2·∫ι（?2E0y/?t2）＊·dτ，
ez=-1/4πDc2·∫ι（?2E0z/?t2）＊·dτ。
其中，＊为函数标量的意思。
根据方程9可得平面激发光波电场 E0的y方向分量标量为方程9a：
（?2E0y/?t2）＊=-Hy·（2πn）2·cos2πn[t1+x/V-（αx+βy+γz）/V]
将方程9a带入方程8c1c的第二个方程，可得方程8c1c2：
ey=[Hy·（2πn）2]/（4πDc2）·?e/?ρ·Σ（ρ）Σ（s）Σ（τ）·B（ρsτ）∫∫∫cos2πn{[t1+（1-α）x-βy-γz）]/V}·cos（2πρ·x/2L）·cos（2πs·y/2L）·cos（2πτ·z/2L）·dxdydz
积分遍及乳光场棱长为 l的立方体。
方程8c1c2中的积分记为 J（ρsτ），具体为方程8c1c2a：
J（ρsτ）=（1/2）3·l3·[sin（l-l′）·（l/2）]/[（l-l′）·l]/2·[sin（m-m′）·（l/2）]/[（m-m′）·l]/2·[sin（v-v′）·（l/2）]/[（v-v′）·l]/2·cos{2πnt1+[（l-l′）·l]/2+[（m-m′）·l]/2+[（v-v′）·l]/2}
方程8c1c2a中的参数如关系式8d所示：
l=2πn[（1-α）/V]，l′=πρ/L；
m=-2πn（β/V），m′=πs/L；
v=-2πn（v/V），v′=πτ/L。
由此，方程8c1c2可表示为方程10：
ey=A·Σ（ρ）Σ（s）Σ（τ）·B（ρsτ）·J（ρsτ）
方程10中参数A如下所示：
A=[Hy·（2πn）2]/（4πDc2）-?e/?ρ
方程10给出了时刻t0=t1+D/V，空间位置x=D、y=z=0点上的乳光场的即时值。
接下来要继续求解乳光场y方向的平均强度，其为方程11：
`ey2=A2·ΣΣΣΣΣΣ·B（ρsτ）B（ρ′s′τ′）·J（ρsτ）J（ρ′s′τ′）
由第三节的证明可知参量B相互独立的满足高斯误差定律，所以，当不是ρ=ρ′，s=s′和τ=τ′的情况时， B（ρsτ）B（ρ′s′τ′）=0，由此，ρ=ρ′，s=s′和τ=τ′，意即B（ρsτ）=B（ρ′s′τ′）和J（ρsτ）=J（ρ′s′τ′），方程11可简化为方程11a：
`ey2=A2·ΣΣΣB（ρsτ）2·J（ρsτ）2
乳光场平均强度对时间求平均只涉及 J（ρsτ）的方程8c1c2a，由此，方程11a可转化为方程11b：
`ey2=?·A2·（l/2）6·ΣΣΣB（ρsτ）2·sin2ξ/ξ2·sin2η/η2·sin2ζ/ζ2。
方程11b新设简化参数如下关系式11c所示：
ξ=[（l-l′）·l]/2，
η=[（m-m′）·l]/2，
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