为了把任何的量都和运动振子的固有频率 v0′联系起来，方程9a可变为方程9b：
`A′2v0′T′=`A′2v0′·（1+υ/c·cosj1）T（1-2υ/c·cosj1）={`A′2v0′T+v0′·υ/c·cosj1·（`d`A2/dv）v0T}·（1-2υ/c·cosj1）
因为给定方向射来的平面波的平均能量 A2v0T·T等于立体角为 dk的一个锥体中的能量密度ρv0·dk，即 A2v0T·T=ρv0·dk，同时，磁力和电力是相等的，并考虑到两个偏振面，则有关系式9c：
ρ·dk=1/8π·A2T/2·2·2
如此，作用在运动振子上的力`kx′方程9可写为方程9d：
`kx′=3c2/16π2·s/2v0′·{ρv0′+v0′·υ/c·cosj1·（dρ/dv）v0′}（cosj1-υ/c）[1-sin2j1/（1-2υ/c·cosj1）·sin2w1]dk
将方程9d按所有的立体角求积分便得辐射压P反抗振子直线运动的阻力K为方程9e：
`K=-3cs/10πv0′·υ[ρv0′-v0′/3·（dρ/dv）v0′]
第3节题为《动量起伏`Δ2的计算》，这一节计算了辐射场引起的振子动力学效应之一的由于带电物体的运动而在无序辐射场中引起的电磁动量的起伏Δ，即方程3的左边。
首先，由于辐射过程的无规性而引起的具有不同正负号的动量可以针对一个静止振子来确定，而不用考虑运动振子的情况。只需把原点上的电力和磁力展成只依赖于时间的傅里叶级数就行了。
振子在时间τ内所接受到的沿x方向的动量J是方程10：
J=∫（τ，0）kx·dt=∫（τ，0）（?Ex/?z·|-1/c·Hy·d|/dt）dt
其中，磁力 Hy部分的分部积分为方程10a：
∫（τ，0）Hy·d|/dt=Hy·|（τ，0）-∫（τ，0）?Hy/?t·|·dt
如果τ足够大，则第一项被加式为零，同时，按麦克斯韦方程有方程10b：
1/c·?Hy/?t=?Ez/?x-?Ex/?z
将方程10a和方程10b带入方程10，则可得方程10c：
J=∫（τ，0）?Ex/?x·|·dt
其中，方程10c各参数可以傅里叶级数表达，其为关系式10d：
Ez=Σ（m）Bn·cos[2πn（t/T）-θn]，
?Ez/?z=Σ（n）Cm·cos[2πm（t/T）-ξm]，
|=3c3/16π3·T3·Σ（n）Bn·sinγn/n3·cos[2πn（t/T）-θn-γn]
将关系式10d带入方程10c可得方程10e：
J=3c3/16π3·T3·∫（τ，0）dtΣ（m）`Σ（n）·sinγn/n3·cos[2π（n+m）（t/T）-ξm-θn-γn]-cos[2π（n-m）t+ξm-θn-γn]
方程10e按t求积分就得到带有因子 1/n+m和1/n-m的两个被加式，又因为n和m是很大的数，第一个被加式就很小就可以略去，于是方程10e变为方程10f：
J=-3c3/32π4·T4·Σ（m）Σ（n）·sinγn/n3·1/（n-m）·n·sinπ（n-m）·τ/T
其中，
δmn=π（n-m）·τ/T+ξm-θn-γn
由此，J2显现为按n，m以及另外两个变数n′，m′求的四重和式，如果计算平均值`J2，就必须照顾到各角δmn和δm′n′是完全相互独立的这一事实，从而在平均时只须考虑这种独立性并不出现的那些项，即 m=m′和n=n′的情况，如此，动量平方平均值`J2即为方程11：
`J2=（3c3·T4/32π4）2Σ（m）Σ（n）·1/2·Cm2·Bn2·（sinγn/n3）2·1/（n-m）2·sin2π（n-m）·t/T
方程11的分部求和为方程11a：
Σ（m）1/（n-m）2·sin2π（n-m）·t/T=1/T·∫（∞，0）1/（v-μ）2·sin2π（v-μ）·τ·dμ=π2·τ/T
和
Σ（n）（sinγn/n3）2=1/T5·∫（∞，0）sinγn/v6·dv=1/T5·σ/2v05
将方程11a带入方程11，即得方程11b：
`J2=（3c3/32π3）2·στ/2v05·`Bv0·T2·`Cv0·T2·T2
之后，论文里列出了关系式11c：
`J2=（`J+`Δ）2=`J2+2`J`Δ+`Δ2
接着便解释说因为平均值`J`和Δ都为零，所以方程11b本身就给出了动量起伏`Δ2的值，即方程11b右边的算式给出的就是动量起伏`Δ2。
（笔者认为关系式11c左右两边的J少写了下标，没做区分，第一个J为J2，是振子受力作用后的动量；后面为J1，是振子受力作用前的动量，J1+Δ才是J2。
而除了方程11c里的J，其他地方的J都是动量起伏，即为Δ，因为根据方程10，力与时间的积分本就是动量变化，即为动量起伏Δ。）
某一特定方向的辐射的振幅 Bv0·T和平面波振幅 Av0·T关系为方程12：
Bv0·T=ΣAv0·T·sinj
方程12对一切入射角求和，得方程12a：
`Bv0·T2·T=`Av0·T2·TΣsin2j=8/3·π·ρv0
同理可得方程12b：
`Cv0·T2·T=（2πv/c）2·`Av0·T2·TΣsin4jcos2w=64/15·π3v02/c2·ρv0
将方程12a和12b带入方程11b（最左边的`J2=即为`Δ2），即得动量起伏`Δ2方程13：
`Δ2=c4στ/40π2v03·ρv02
第4节题为《辐射定律》，这一节最终推导出了瑞利-金斯公式，将第2节最后的方程9e和第3节最后的方程13带入第1节最后的方程3，可得微分方程14：
/24πRQv2·ρ2=ρ-v/3·dρ/dv
微分方程14积分即得瑞利-金斯公式，方程15：
ρ=8πRQv2/
之后，爱因斯坦和路德维希·霍普夫就上述推导的过程和结果进行了评价，指出普朗克把瑞利-金斯公式的失败归于统计分析应用于辐射领域是不对的，而他们认为瑞利-金斯公式的失败的根源是经典理论丢掉了爱因斯坦1909年1月23日《论辐射问题的现状》中最先提出的动量起伏的量子部分。
当然，这篇论文中爱因斯坦有错认能量均分定理可以应用到辐射领域的瑕疵，拿气体分子运动论的成功来佐证能量均分定理的正确性，而这在爱因斯坦1906年3月13日的论文《关于光产生和光吸收的理论》、1906年11月9日的论文《普朗克的辐射理论和比热容理论》和1910年5月7日的论文《论光量子理论和电磁能的定域化问题》里已经否定了能量均分定理的E=RT/N可以应用到辐射领域的：
“这（方程15）就是著名的瑞利辐射定律，它是和实验有显著的矛盾的。因此，在我们推导的基础中一定包含了某种和热辐射中真正发生着的事物不相符合的认定。
因此现在让我们对这种基础进行一番更细致的批判性的检验。
人们曾经想要找出原因，以知道为什么当把辐射理论领域中的一切精确的统计分析应用于辐射本身时会导致瑞利定律。普朗克不无根据地提出了这一论点来反对金斯的推导。
然而，在以上的推导中，根本就不存在什么稍微任意地把统计考虑搬用到辐射上的任何问题；能量均分定理是只对振子的平移运动应用的。但是气体分子运动论的成就已经证实这一定理可以认为是已对平移运动完全证明了的（注：错认能量均分定理可以应用到辐射领域）。
因此，在我们的推导中用过的基础(它必然包含着某种无根据的假设)，只不过是支持着完全透明物体中的光色散理论的那一基础而已。
实际的现象之所以和可以由此基础推得的结果有所不同，是由于这样一件事实：在实际的现象中可以觉察到另外种类的动量起伏，而这些动量起伏在低密度短波辐射的事例中会大大超过由理论求得的动量起伏。
（注：低密度短波辐射就是1905年3月17日光量子论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》中提出光量子论的依据公式维恩辐射公式的应用范围。
另外种类的动量起伏则是1909年1月23日《论辐射问题的现状》中开始提出的观点，爱因斯坦后续的通信和演讲中也多有涉及。）”
另外，瑞利-金斯公式原本的推导过程和此文中爱因斯坦推导的过程不一样，其为：
考虑一个体积为V的空腔，腔壁温度为T，腔内真空，由于腔壁在任何温度下都辐射电磁波，因此腔内就建立了一电磁场，并且腔壁同电磁场将达到平衡。这个辐射场可以分解为一系列单色平面波的叠加，也可以看作是一个由许多振子组成的系统。
瑞利和金斯求出在频率间隔v～v+dv内本征振动的个数为公式1：
2×4πv2V/c3·dv
其中因子2是由于每一频率v对应于偏振面互相垂直的两个波的缘故。
根据经典能量均分定理，每个振动自由度的平均能量为kT，当然每一个平面波也具有kT的平均能量。
所以将式公式1乘以kT，并用体积V除，就得到频率v～v+dv之间、单位体积的能量表示式，即式2：
w（v，T）dv=8πv2/c3·kT·dv
也可将式2换为按波长的分布公式3：
w（v，l）dl=8πkT/l4·dl
这篇通过计算辐射压对振子的阻力和振子在辐射场中动量的起伏，采用能量均分定理而导出了瑞利-金斯公式的论文《关于辐射场中一个振子的运动的统计考查》由爱因斯坦和路德维希·霍普夫（Ludwig Hopf，1884年-1939年）合著，《物理学年鉴》1910年8月29日收到，最终于12月20日发表。
本章已完 m.3qdu.com