选择
这个公理有很多公式。这是历史上最具争议的公理。
xyyxyffxaxfaaxyyxyffxaxfaa
erel1908年明确阐述了上述公理产生的理论。大多数经典数学都可以在这个理论中进行，但令人惊讶的是，没有比22可以证明存在于这一理论中至少对erel来说是这样，他只是忽视了rankel和其他人发现的下一个公理。
替换模式
如果aa是一套，对所有人来说xaxa有一个独特的y以至于x，yx，y满足给定的财产，然后收集此类财产y这是一套。更详细地说，给定一个公式x1，…，xn，x，yx1，…，xn，x，y以下是替换模式的实例：
ax1…xnxayx1，…，xn，x，yzzuax1，…，xn，u，ax1…xnxayx1，…，xn，x，yzzuax1，…，xn，u，
更换申请
替换公理证明，每个有序集都与唯一序数同构。
证明。只需为每个世界展示这一点。，<，<和每个ll，<l<l<l<l到独特的序号flfl。修复ll，ll最不反例。然后ff定义在<l<l通过替换，ranf<lranf<l是一套序数。从关于序数和顺序的基本事实来看，很容易看出是序号。如果ll是然后<l1<l1。如果ll是限制，那么<l<l。
xxxx。
对于所有序数，存在即为每个至少有11许多无限红衣主教。
此外，置换公理也证明了分离公理，反过来又证明了空集公理。此外，与功率集公理一起证明了配对公理。
的一致性
断言nn是理论的断言是一致的。这是一个复杂的断言0110在算术中，因为它断言每个自然数都不是哥德尔代码，证明来自。由于el完整性定理，该断言等同于该理论有模型，，^。其中一种模型是enkin模型，该模型基于任何完全一致的enkin理论扩展的句法程序。一般来说，人们可能不会认为^是实际集成员关系，因为这将使模型成为，其存在比nn。
哥德尔不完全性定理意味着如果是一致的，那么它就不能证明nn，因此这个公理的添加严格来说比独自一人。
表达方式n2n2表示断言nnnn，更笼统地迭代这一点，人们可能会考虑这种说法nn每当本身是可以表达的。
及过渡模型
一种传递模型是一套及物以至于结构，，满足所有集合理论公理。这种模式的存在严格来说比nn比迭代一致性层次结构更强大，但比世俗红衣主教、红衣主教的存在更弱为了哪个是，因此也比无法接近的红衣主教的存在更弱。并非所有及物动词模型有形式，因为如果有任何及物模型，然后通过enheikle定理和sski崩溃引理，有一个可数的这种模型，这些模型从来没有形式。
尽管如此，每个及物动词模型的提供了一个集合理论论坛，在这个论坛中，人们可以看到几乎所有正在进行的经典数学。在这个意义上，普通集理论结构无法访问或无法访问此类模型。因此，存在一个可以被视为一个大的基数公理：它表达了一个大的概念，这种模型的存在在并具有严格超越的一致性强度。
最小及物模型
如果有任何及物模型的，那么，计算在，也是事实上，有表格，哪里hh是高度。最小及物模型是模型，哪里最小，以至于这是一个模型。刚才给出的论点表明，最小及物模型是所有其他及物模型的子集。
它的高度比最不稳定的序数要小，尽管中可以证明存在稳定序数，而传递模型的存在则不然。
模型
安模型是其自然数的集合与实际自然数同构。换句话说，一个模型是一个没有非标准自然数的模型，尽管它可能有非标准序数。更一般地说，对于任何序号，一个模型至少有基础良好的部件。每个及物模型是一个模型，但后一个概念严格来说更弱。
一致性层次结构
存在一个模型并暗示nn当然，还有nnnn以及大部分迭代一致性层次结构。这只是因为如果并有标准的自然数，然后同意nn坚持，因为它的证据与我们在环境背景下的证据相同。因此，我们认为满足nn因此，我们相信nnnn。接下来同意这种一致性主张，所以我们现在相信n3n3。模型因此同意，所以我们相信n4n4等等，只要我们能够以一种正确解释它们。
每个有限的碎片由于反射定理，允许许多传递模型。
及过渡模型和强迫
历史上，集合理论的可数传递模型被用作将强迫形式化的便捷方式。这种模型使强迫理论变得方便，因为人们可以很容易地证明，对于每个部分订单英寸，有一个通用过滤器，只需列举英寸按可数顺序nn<nn<，并构建降序p0p1p2p0p1p2，与pnnpnn。过滤器序列生成的是通用。
为了证明一致性，这种形式化效果很好。显示nnnn，修复了一个有限的片段并使用合适的大碎片的可数传递模型，产生在强制扩展中包含所需的碎片。
及物模型宇宙公理
及物模型宇宙公理是断言每组都是。这个公理比费弗曼理论提出了更强有力的主张，因为它被断言为单一的一阶主张，但比宇宙公理更弱，宇宙公理断言宇宙有形式对于无法接触到的arinal。
传递模型宇宙公理有时在背景理论中研究，而不是，但对于，省略了幂集公理，以及断言每个集都是可数的公理。这种事业相当于采用后一种理论，不是作为数学的基本公理，而是作为研究多元宇宙视角的背景元理论，调查各种实际集理论宇宙、完整的及物模型，彼此相关。
每个型号包含一个模型作为一个元素
每个模型的有一个元素，它认为这是集合理论语言中的一阶结构，是集合理论的模型，从外部看。这在以下情况下是显而易见的是一个模型，因为在这种情况下同意是一致的，因此可以构建一个亨金模型。在其余情况下，有非标准自然数。通过反射定理应用于，我们知道n碎片在表单模型中是正确的，对于每个标准自然数n。自从无法确定其标准切割，因此必须有一些非标准切割nn为了哪个认为一些满足非标准n碎片。自从n是非标准，这包括完整的标准理论，根据需要。
前一段中提到的事实偶尔会被一些初创理论家发现令人惊讶，也许是因为这个结论天真地似乎与这样一个事实相矛盾，即可能存在模型nn。然而，通过意识到尽管模型里面实际上是一个完整的模型，模型无需同意这是，如果具有非标准自然数，因此非标准长度公理。
数不清的及物模型
回想一下，enheikle定理和sski崩溃引理表明，如果有一个传递模型或其他集合理论，那么就有一个可数的此类模型。这意味着每个不可数的传递模型都是的模型“有一个可数的传递模型这个理论中有一些可数的传递模型，它们必须比最小模型具有更高的高度。同样，也有理论的传递模型，断言不同高度的可数可数传递模型，直到11其意义取决于模型：一般来说11211112。此外，还有及物理论模型断言“有的可数传递模型“有1不同高度的可数传递模型不同高度等。因此，如果有一个不可数的传递模型，那么“真的很多”在“等”建议的非正式含义中可数传递模型，它们在11否则他们不可能有11不同的高度。
假设在我们有一个基数高度的及物模型。我们可以把每个数不清的继任者变成红衣主教进入11通过强迫在。在，及物模型不受限制11。传递模型的可构造宇宙hh是的型号它是哪个很常见和。所以的型号无限英寸。他们中的一些人具有高度的基数他们“很多”。因此，如果有基数高度的传递模型，然后有“非常多”所有基数高度的及物模型<<。
特别是，模型和“模型是无界的”等在为了世俗，就像在无法访问有世俗、世俗、超世俗等arinal。
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